Fibonacci en de Gulden snede(Divined proportion or the Golden Mean)

Gulden Snede filmpjes

Gewoon een aantal filmpjes om er achter te komen welke invloed de Gulden Snede op de kunst, architectuur, film, onderwijs...etc heeft.
Wiskunde laat de natuur spreken.

HarmonyPhi | Phi explained
Korte uitleg over het getal Phi, handig als je het wil construeren.

The Golden ratio
Muziek en beelden interpretatie van de Gulden snede

The Golden Mean
Een link naar design, natuur,(DNA), architectuur, Fibonacci passer, film, denken....etc

Golden Ratio in Human Body
Uitleg, het lichaam als uitganspunt voor ontwerpen en design.

Inspector Lynley en de Gulden snede.
Toepassing van de Gulden snede in een detective.

Golden Ratio
Golden Ratio effe snel uiteglegd.

Composition - The Golden Mean (Golden Section) with Ronald Swanwick
Als tekenend uitleg en toepassing van de Golden Mean, het aandachtspunt(focal point). De goede man maakt een fundamentele fout als hij over het A4 papierformaat praat.

HarmonyPhi Jewellery
Gulden snede toegepast in een juweelontwerp.

Heldere uitleg over de wiskundige justheid van de gulden snede.

Fibonacci en de Gulden snede (Divined proportion or the Golden Mean)

http://www.aanenuitleg.nl/Fibonacci-Gulden-snede.html
Hier zijn diverse filmpjes te zien over dit onderwerp.
http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Golden_ratio?uselang=nl#mw-subcategories

The golden ratio (Latin: sectio aurea): $\frac 1 \varphi = \varphi - 1;\; \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{.}618$

http://nl.wikipedia.org/wiki/Gulden_snede

De gulden snede, ook wel de verdeling in uiterste en middelste reden genaamd, is de verdeling van een lijnstuk in twee delen in een speciale verhouding. Bij de gulden snede verhoudt het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste. Geven we het grootste deel aan met a en het kleinste deel met b, dan is de verhouding van beide zo dat a : b = (a+b) : a.

De bedoelde verhouding a/b wordt het gulden getal genoemd en aangeduid met de Griekse letter φ (phi); zoals hieronder aangetoond wordt, geldt:

$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}62$

http://nl.wikipedia.org/wiki/Rij_van_Fibonacci

De rij van Fibonacci is genoemd naar Leonardo van Pisa, bijgenaamd Fibonacci, die de rij noemt in zijn boek Liber abaci. In woorden is elk element van de rij steeds de som van de twee voorgaande elementen, beginnend met 0 en 1. De rij blijkt interessante eigenschappen en verbanden te bezitten met onder andere de gulden snede. De eerste elementen van de rij (rij A000045 in OEIS) zijn dan als volgt:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, ...

Het is evenwel niet duidelijk wie als eerste de rij heeft uitgedacht. Toen Fibonacci 20 jaar was, ging hij naar Algerije waar hij Indiaase en Arabische wiskunde bestudeerde. Wellicht leerde hij daar de rij kennen.

aanvulling; Hij introduceerde ook de Christelijke wereld met de Hindu-Arabische cijfers.

Europees 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Arabisch-Indisch ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
Oost Arabisch-Indisch
(Perzisch en Urdu) ۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹
Devanagari(Hindi) ० १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९
Chinees 零一二三四五六七八九
Tamil ௧ ௨ ௩ ௪ ௫ ௬ ௭ ௮ ௯
http://nl.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Fibonacci

Leonardo van Pisa (middeleeuws Latijn: Pisano, modern Italiaans: da Pisa), beter bekend als Fibonacci (ca. 1170 - 1250) was een Italiaanse wiskundige.

Fibonacci is geboren in Italië, maar genoot zijn opleiding in Noord-Afrika. Hij publiceerde in 1202 "Liber Abaci" (Het boek van de abacus) over algebra en de Arabische cijfers inclusief het cijfer nul. Hij introduceerde dit cijferstelsel hiermee in Europa.

Hij wordt vaak beschouwd als de eerste westerse wiskundige die origineel werk publiceerde sinds de Griekse oudheid. Fibonacci is vooral bekend geworden door zijn rij van Fibonacci.

De naam "Fibonacci" komt van Figlio di Bonaccio, "zoon van Bonaccio". Bonaccio, "goedzak", was de bijnaam van Fibonacci's vader.
http://www.nieuwsblad.be/article/detail.aspx?articleid=GMPSDHQC

De gulden snede uit de 'Code' zit ook in Barbie

Fibonacci was een konijnenboer

Eén van de mysteries die Dan Browns The Da Vinci Code en de gelijknamige film rijk zijn, is de gulden snede. Dat verschijnsel is meer dan louter theorie. Waarmee dacht u dat Barbie al generaties meisjes verleidt?

De gulden snede is een wiskundige benaming voor een creatie van de natuur. Om het simpel te houden: de ideale proportie. De gulden snede wordt gebruikt bij de ,,constructie'' van dieren, planten, mensen, gebouwen, schilderijen, beelden, muziekinstrumenten...

Stel je een lijnstuk voor dat verdeeld is in een kort stuk A en een langer stuk B. De perfecte (,,gulden'') verhouding bestaat erin dat de verhouding tussen het kortste stuk A en het langere stuk B gelijk is aan de verhouding tussen het lijnstuk B en het hele lijnstuk A+B, ofwel het getal ,,phi''. Phi is ongeveer gelijk aan 1,618 en heeft net zoals het getal ,,pi'' oneindig veel decimalen.

Een verschijnsel dat meestal in een adem met de gulden snede wordt genoemd, is de beroemde reeks van Fibonnaci, waarmee in The Da Vinci Code een code wordt gekraakt. De reeks getallen bekom je door de som te maken van de twee voorgaande getallen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 enz. Hoe hoger je gaat in de reeks, hoe duidelijker het wordt dat als je twee opeenvolgende getallen door elkaar deelt, je het getal phi en dus de gulden snede bekomt.

En hoe komen we dan bij Barbie uit? De perfecte mens ontploft zowat van de gulden snede-verhoudingen. Maar omdat de doorsnee mens niet perfect is, nemen we hier het voorbeeld van de geïdealiseerde mens: Barbie. De afstand tussen haar hoofd en haar navel (A) verhoudt zich tot de afstand van haar middel tot haar voeten (B) zoals die zich verhoudt tot haar totale lichaamslengte (A+B). Dezelfde verhouding bevindt zich ook in haar armen, benen Ook in ons DNA is de gulden snede terug te vinden.

De reeks van Fibonacci vinden we bijvoorbeeld terug in de zonnebloem. Zonnebloempitten zijn in spiralen gerangschikt. De ene groep spiralen slingert met de klok mee, de andere tegen de klok in. Het aantal spiralen links- en rechtsom is verschillend. Afhankelijk van het soort zonnebloem zijn er 34 en 55, 55 en 89, 89 en 144 linkse en rechtse spiralen. Telkens twee opeenvolgende Fibonacci-getallen, dus.

http://www.arsetmathesis.nl/arthesis/mondriaan.htm

Mondriaan en de gulden snede

door Henk Heusinkveld

Het werk van Mondriaan krijgt, o.a. door de omstreden aankoop van de Victory Boogie Woogie, blijvend aandacht. Nu voor 'arthesianen' door het boek De ontstelling van Pythagoras van Albert van der Schoot de gulden snede opnieuw op de agenda is gezet, is het interessant om na te gaan of de verhoudingen in de composities van Mondriaan ook iets te maken hebben met de gulden snede.

Vooraf moeten we duidelijk stellen dat Mondriaan iedere wiskundige berekening voor de kunst afwees: "toeval moet even veraf zijn als berekening", schreef hij ooit. Alleen rond 1919 is er een korte periode waarin hij zijn schilderijen in precies 16 x 16 modulen verdeelt, die ieder exact weer de vorm van het schilderij hebben. Zo'n raster gaf hem rust en bracht hem tot vlakverdelingen, gebaseerd op verhoudingen van eenvoudige natuurlijke getallen. Hij ontdekte echter al binnen een jaar dat het concept van zulke 'rastercomposities', zoals hij ze noemt, onvruchtbaar is. Al experimenterend gaat hij dan over tot de beroemde composities met vlakken in primaire kleuren en met zwarte lijnen in telkens wisselende verhoudingen. Het doek wordt steeds leger. Hij bouwt rondom de leegte een harmonie op.

In 1932 komt er een ingrijpende verandering in zijn werk als hij de dubbele lijnen gaat gebruiken. Deze dubbele lijn heeft hij bijna zeker overgenomen van een van zijn trouwste leerlingen, Marlow Moss. Moss bracht eerst de gulden snede aan op haar doek en door allerlei manipulaties zoals omvouwen en verschuiven kwam ze tot fraaie composities.

Mondriaan verwerpt dit mathematische geconstrueer. Hij spreekt daar denigrerend over. Voor hem is alleen het proefondervindelijke en het intuïtieve de bron van het creatieve proces (zie Carel Blotkamp: Mondriaan, destructie als kunst, 1990). Als wij de gulden snede in Mondriaans werk aantreffen, dan zijn die verhoudingen dus ontstaan door voortdurend experimenteel met lijnen en vlakken te schuiven tot het beeld voor hem bevredigend was. Bij zijn laatste werken - hij was toen al 70 jaar - nam hij tenslotte afstand van de zwarte lijn en ging over op gekleurde banden. Daarbij gebruikte hij linten in heldere kleuren. Het doek lag dan plat op tafel. Zo kan hij experimenteren zonder, zoals vroeger, elke keer lijnen te moeten overschilderen. Pas als hij tevreden was, schilderde hij en ook dan nog bracht hij rusteloos veranderingen aan. Bij verschillende van zijn composities zijn de sporen van dit overschilderen nog te zien, heel duidelijk o.a. bij de Victory Boogie Woogie.

Charles Bouleau heeft de verborgen interne structuur van vele tientallen schilderijen vanaf de Middeleeuwen tot heden bestudeerd.
In zijn boek 'Charpentes, la géométrie secrète des peintres' (Edition du Seuil, 1963) besteedt hij op de laatste bladzijden ook aandacht aan Mondriaan. Bouleau heeft drie composities van Mondriaan onderzocht op de gulden-snede-verhouding. Ik neem hieruit enkele afbeeldingen over.

mondriaan_tabl1.gif (4688 bytes) Tableau 1: Compositie met twee lijnen en grijs, 1926

Bij Tableau I construeert Bouleau in het vierkant ABCD (zie figuur 1) op de diagonaal AC het punt S zodat SC : AS = AS : AC. Met AS als zijde construeert hij een nieuw vierkant en past daar dezelfde verdeling toe op de diagonaal. Na 45^° draaien en in elkaar schuiven vindt hij de rechts afgebeelde constructie. Hij merkt nog op dat de diktes van de zwarte lijnen zich verhouden als 3, 4 en 5.

figuur 1 mondriaan_fig1.gif (8804 bytes)

mondriaan_nb.jpg (8721 bytes) de niet bestaande: Compositie met twee lijnen

Het tweede doek dat hij onderzoekt geeft Bouleau de naam Compositie met twee lijnen, dat in het Stedelijk Museum in Amsterdam zou moeten hangen. Dit schilderij komt echter niet voor in de grote overzichtscatalogus van 1994. Vermoedelijk bedoelt Bouleau Compositie met twee zwarte lijnen, 1931, dat wel in Amsterdam hangt.

Bouleau heeft het, heel onzorgvuldig, in spiegelbeeld afgedrukt.

Het doek wordt gevormd door vierkant ABCD. Hierin tekent Bouleau de middenparallellen (zie figuur 2). Het lijnstuk AE is het grootste segment van een gulden-snede-verhouding, het kleinste is EF. Hij construeert een vierkant met zijde A'F met de lengte A'E' ( = AE) + E'F. Als we de twee vierkanten over elkaar schuiven vinden we volgens Bouleau het ontwerp van Mondriaans compositie.

figuur 2 mondriaan_fig2.gif (10840 bytes)

Hij suggereert dat Mondriaan ook zo gewerkt heeft, want in zijn uitleg zegt hij: "Om het tweede vierkant in het eerste te plaatsen legt Mondriaan de gulden sneden E' en E'' op de diagonalen van het grote vierkant (....). Hij heeft dan zijn schema vastgelegd.".
Een grote vergissing!

Het derde schilderij is de Broadway Boogie Woogie.
Door op het vierkant zowel horizontaal als verticaal zes maal achter elkaar de gulden-snede verhouding uit te zetten (phi) vindt hij een raster dat de basis zou kunnen zijn voor deze compositie, het laatste voltooide werk van Mondriaan (zie figuur 3).

figuur 3 mondriaan_fig3.gif (10977 bytes)

Het onderzoek van Bouleau getuigt van veel volharding en inventiviteit. Het kan ons attenderen op verborgen, mathematische schoonheid in het kunstwerk. Het bedenkelijke aan zo'n studie is dat de suggestie gewekt wordt, dat de kunstenaars zelf hun werk ook zo geconstrueerd hebben.

Mondriaan noemt zijn werk composities en niet constructies, en dat is veelzeggend.

http://www.piramidemeubels.nl/guldensnede.html

De gulden snede

De gulden snede is een verhouding tussen twee maten en wel zodanig dat de kleine maat (minor) zich verhoudt tot de grote maat (major) als de grote maat zich verhoudt tot de kleine- en de grote maat samen. Algebraïsch schrijft men dat zo: A : B = B : (A + B). Afgerond is dit 1,618 en wordt uitgedrukt door phi (φ).

De gulden snede is om verschillende redenen interessant. Ten eerste is het een klassieke opvatting dat de Gulden Snede "mooie" verhoudingen geeft. Al in de oudheid baseerden de Grieken de ontwerpen van gebouwen op de Gulden Snede. Later kwam dit concept opnieuw in de mode in de Renaissance, en ook vandaag de dag zijn er kunstenaars en architecten die de Gulden Snede bij de vormgeving van hun werk toepassen. Zelfs in de muziek komt wordt de gulden snede gebruikt. Bach componeerde hier veel mee.

Het gulden snede getal (1,618) komt vrijwel overeen met de "reeks van Fibonacci". Deze reeks wordt opgebouwd door het voorgaande getal bij de volgende op te tellen. Dus: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … De verhouding tussen de opeenlopende getallen is 1,618 (deel 377 door 233).

Net als de Gulden Snede duiken deze Fibonaccigetallen in de natuur op de meest vreemde plaatsen op. Het bekendste voorbeeld is het feit dat zonnebloempitten zodanig staan ingeplant dat ze twee stelsels spiralen lijken te vormen. Die stelsels bevatten meestal 34 en 55 spiralen, maar 55 en 89, of 89 en 144 komen ook voor. Zoals je ziet zijn het steeds opeenvolgende Fibonaccigetallen.
Dezelfde spiraalsgewijze inplanting komt ook voor bij schubben van denneappels of ananassen. De getallen zijn daar 8 en 13. Ook de verhoudingen van het menselijk lichaam zijn gerelateerd aan deze verhoudingen.

Uitleg bij de zithoogte van 50 cm
De hoogte van de kruk is 50 cm.
Als deze hoogte wordt opgedeeld in de gulden snede-verhoudingen (delen door 1,618), dan krijgen we de volgende getallenreeks:

50 - 30,9 - 19,1 - 11,8 - 7,3

Het bijzondere van de piramide van Cheops is, dat de omtrek van het grondvlak gelijk is aan de hoogte x 2П (pi). (П = 3,14). Deze bijzonderheid is ook in de piramide-krukken verwerkt. De hoogte van de in de kruk verwerkte piramide is 19,1 cm. Dit getal x 2П = 119,95 cm. Elke zijde van het grondvlak is dus 119.95 : 4 = 29,99. Dit hebben we afgerond naar 30 cm.
Als we dit getal ook weer opdelen in de gulden snede-verhoudingen krijgen we de getallenreeks:

30 - 18,6 - 11,4 (2 x 5,7).

De diagonaal van het grondvlak is, volgens de stelling van Pythogoras, de wortel van 30² + 30² = 42,41 cm. Als dit getal weer wordt opgedeeld in de gulden snede-verhoudingen, levert dat de volgende getallenreeks op:

42,41 - 26,2 - 16,2 (2 maal 8,1).

· De Luxor en de gulden snede

· De Aswan en de gulden snede

Luxor

Aswan

Uitleg over de gulden snede vindt u onder andere op de volgende sites:

· Introductie: wat is de gulden snede?

· De gulden snede in natuur en kunst (Engelstalig)

· The Phi-nest (Engelstalig)

· Mondriaan en de gulden snede

http://www.nautabene.nl/pages/collectie/salontafel-fibonacci-1.htm

Fibonacci tafel

Fibonacci tafel is een tafel op basis van de gulden snede; een evenwichtige uitstraling en een verrassend accent door het rechthoekige opening. De tafel bestaat uit 4 opeenvolgende vierkanten en een opening. Elk volgend vierkant is steeds 1,6 groter als het voorgaande: de gulden snede verhouding.

Het patroon van het tafelblad is geïnspireerd op de reeks van fibonacci. In deze reeks is ieder getal een optelsom van de twee voorafgaande getallen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, .... Het bijzondere van deze reeks is dat vanaf het getal 5 elk volgend getal 1,6 maal groter is dan het voorgaande getal. Hieruit blijkt dus een nauwe relatie tussen de reeks van fibonacci en de gulden snede. In de vierkanten is een spiraal te tekenen die je terug kunt vinden als patroon in natuurlijke groeiprocessen. In een zonnebloem, een dennenappel, een nautilusschelp.

Beeldcompositie: de gulden snede

De Gulden snede kan vooreerst toegepast worden op de beeldverhouding van een foto: het klassieke 24 x 36 mm negatief heeft een verhouding van 1,5 tot 1 en komt zo aardig in de buurt van de Gulden Snede.

Maar ook voor andere beeldformaten is het principe, mits enige aanpassing, bruikbaar. In de praktijk komt het op het volgende neer: als je je foto horizontaal en vertikaal in drieën verdeelt krijg je vier snijpunten. Dat zijn de ’sterke’ punten van het beeld, waarop of -rond de belangrijkste informatie zou moeten te vinden zijn.

Een paar voorbeelden:

De telefoonpalen verdelen de foto vertikaal in drie delen.

Het onderwerp midden in de foto plaatsen zorgt vaak voor een statisch en saai beeld. Als je werkt met een 1/3 - 2/3 verdeling is het resultaat meestal beter.

Meetkundige constructies en de Gulden Snede

Inleiding

Meer dan 2500 jaar geleden begon een bloeiperiode van allerlei wetenschappen in het oude Griekenland. Eén van de wetenschappers uit die tijd heette Euclides, en leefde rond 300 jaar voor Christus. Zowat alle wiskunde die rond die tijd bekend was heeft Euclides verzameld en opgeschreven in zijn boeken 'de Elementen'. Zodoende heeft hij onder andere de basis gelegd voor de meetkunde zoals je die nu op school leert. Hij bouwde zijn meetkunde systematisch op, met definities, stellingen en bewijzen zoals in de 'moderne' wiskunde gebruikelijk is. Beroemd zijn de postulaten (axioma's, uitgangspunten die zonder vorm van bewijs als waarheid worden aangenomen) die hij in zijn eerste boek formuleerde. Zo stelde hij dat door je twee gegeven punten een rechte lijn kan tekenen en dat je rond elk punt een cirkel kunt tekenen met willekeurige straal. Hoewel hij nog meer postulaten formuleerde, zijn deze twee voor ons belangrijk, omdat zij ons precies zeggen wat toegestaan is bij het maken van meetkundige constructies.

Het gereedschap

Constructies maken doe je met passer en liniaal. De passer gebruik je natuurlijk om een cirkel te tekenen volgens het postulaat van Euclides. De liniaal is eigenlijk een recht stuk hout en mag je alleen gebruiken om een rechte lijn tussen twee punten te tekenen, niet om afstanden te meten. Met dit gereedschap kun je al een heleboel eenvoudige constructies maken. Deze noemen we elementaire constructies. Probeer deze maar eens te maken met passer en liniaal.

Elementaire constructies

1. De middelloodlijn tussen twee punten.

De middelloodlijn l van twee punten A en B is de lijn die het lijnstuk AB loodrecht middendoor deelt. Verder is l de verzameling punten die op even grote afstand van A en B liggen. Construeer nu een cirkel met straal groter dan ½|AB| om A en een cirkel met dezelfde straal om B. De snijpunten van deze cirkels hebben dezelfde afstand tot A en B en liggen dus op de middelloodlijn. Teken nu een lijn door deze twee punten en je hebt de middelloodlijn gevonden.

Een middelloodlijn construeren

2. De bissectrice van een hoek

De bissectrice b van een hoek is een halve lijn die de hoek middendoor deelt. De bissectrice is ook de verzameling punten die op even grote afstand van de benen van de hoek liggen. Nu helpt dit je bij het construeren van de bissectrice van een hoek. Teken een cirkel om A met willekeurige straal. Deze snijdt de benen van de hoek in B en C. De middelloodlijn van B en C is nu de bissectrice van hoek A.

De bissectrice van een hoek

3. Loodlijn oprichten

Gegeven zijn een lijn l en een punt A. Gevraagd is een lijn door A te tekenen die loodrecht op l staat. Teken een cirkel om A. Deze snijdt l in twee punten B en C en wel zodanig dat |AB| = |AC|. Dus de middelloodlijn van B en C is loodlijn van l door A.

Een loodlijn oprichten

4. Een hoek overbrengen

Als je twee benen van een willekeurige hoek A hebt, kun je deze hoek op overbrengen op een willekeurige lijn l. Stel dat je hoek A bij punt A al getekend hebt, snijd de benen van deze hoek dan met een lijn m. Dit geeft je de punten B en C. Zet nu (met de benen van de passer) de afstand |AB| af op l met de punten A' en B', en teken een cirkel met straal |AC| om A'. Teken een cirkel met straal |BC| om B'. Het snijpunt van deze cirkels is C' en omdat van de driehoeken ABC en A'B'C' overeenkomstige zijden gelijk zijn, zijn DABC en DA'B'C' congruent. Dan zijn ook de overeenkomstige hoeken gelijk, en dus heb je hoek A overgebracht naar lijn l.

Een hoek overbrengen

5. Een lijn door een punt, evenwijdig aan een gegeven lijn.

Gegeven zijn de lijn l en een punt A dat niet op l ligt. De bedoeling is een lijn door A te tekenen, die evenwijdig loopt met l , maar je mag je geodriehoek natuurlijk niet gebruiken. Teken nu een willekeurige lijn m door A. Deze moet l snijden in een punt B, anders is hij al evenwijdig met l. Breng nu de hoek a tussen l en m over naar het punt A. Dit kun je al, je hebt immers net die constructie uitgevoerd. Dit geeft je de lijn n. Omdat de hoeken tussen l en m en tussen l en n gelijk zijn heb je te maken met F-hoeken. Zodoende lopen l en n evenwijdig.

Een evenwijdige lijn construeren

6. De raaklijn door een punt aan een cirkel

Gegeven zijn een cirkel g met zijn middelpunt C en een punt A buiten de cirkel. Hoe teken je nu door het punt A een raaklijn aan de cirkel? Verbind het middelpunt van de cirkel C met A, en deel lijnstuk AC middendoor. (Dit kan natuurlijk met de constructie van de middelloodlijn!) Dit geeft je het punt B. Teken nu een cirkel om B met straal |BC|. Deze cirkel snijdt g in twee punten D en E. Dit zijn precies de raakpunten van de lijnen AD en AE met g.

De raaklijn aan een cirkel

Opgaven

        1. Bij de constructie van een lijn evenwijdig aan een
        andere lijn hebben we gebruik gemaakt van een andere
        elementaire constructie: het overbrengen van een hoek.
        Je kunt ook een evenwijdige lijn construeren door enkel
        gebruik te maken van constructie 3: een loodlijn neerlaten
        of oprichten. Voer dit uit.

2. Teken twee punten A en B. Construeer nu een gelijkzijdige
driehoek ABC.

        3. Voor constructie 6 heb je het middelpunt van een cirkel
        nodig. Hoe construeer je dit middelpunt als enkel de cirkel
        zelf gegeven is?

Afstanden overbrengen

Bij de constructie van het overbrengen van een hoek heb je afstanden moeten overzetten. Dit deed je door de afstand tussen de benen van de passer te nemen, de passer op te lichten en op een andere plaats weer neer te zetten. In de tijd van Euclides waren de passers echter niet zo stevig en zodra Euclides zijn passer van de papyrus afhaalde, klapten de benen van de passer in. Hij kon zijn passer dus niet direct gebruiken om een afstand af te passen en deze afstand over te zetten naar een andere plaats. Hoe zette hij dan afstanden over bij die constructie?

Dit probleem kan als volgt geformuleerd worden: gegeven een punt A en een lijnstuk BC, construeer een cirkel om A met straal |BC|. Een mogelijke oplossing gaat als volgt: trek een lijnstuk door A en B. Construeer hierop een gelijkzijdige driehoek op de manier van opgave 3. Noem het derde punt van deze driehoek D. Construeer een cirkel met straal |BC| om B, en bepaal de snijpunten van deze cirkel met het verlengde van BD. Kies een van deze snijpunten en noem het E. Teken een cirkel met straal DE om D en bepaal het snijpunt F van deze cirkel met het verlengde van AD. Nu geldt dat AF = BC (Waarom? Ga dit na!) en dus heb je de afstand BC overgezet naar A.

Afstand

overzetten

Een afstand overzetten

Omdat je deze constructie altijd kunt uitvoeren, mag je om tijd te besparen met je passer een afstand afpassen en onmiddellijk overzetten. We hebben immers net laten zien dat we elke constructie ook met een inklappende passer kunnen maken. Net zo mag je vanaf nu elke elementaire constructie onmiddellijk uitvoeren. We hebben bijvoorbeeld laten zien hoe je een lijn evenwijdig aan een andere lijn construeert; vanaf nu mag je dit dus gewoon met je geodriehoek uitvoeren.

De Gulden Snede

Er bestaan veel meetkundige constructies die verband houden met de Gulden Snede. In de oudheid waren veel wetenschappers daarin geïnteresseerd. Zo wist Euclides een lijnstuk te verdelen volgens de Gulden Snede en de constructie van een regelmatige vijfhoek is heel eenvoudig te vinden als je een lijnstuk al volgens de Gulden Snede hebt verdeeld.

Begin met een lijnstuk AB en deel dit middendoor met C. Trek een cirkel g om A met straal AB en richt een loodlijn op vanuit A op AB. De cirkel g snijdt deze loodlijn in punt D. Teken nu de cirkel met middelpunt C en straal CD. Deze cirkel snijdt het verlengde van AB in E. Nu geldt dat het punt B lijnstuk AE volgens de Gulden Snede verdeelt.

De constructie van de Gulden Snede

Waarom geldt dit eigenlijk? Neem maar eens AC gelijk aan 1. Dan is AB gelijk aan 2. En met de stelling van Pythagoras vind je: CD ² = AC² + AD² = 5, dus CD = √5. Dan is ook CE gelijk aan √5, en daarom is AE gelijk aan 1 + √5. Maar nu zien we dat AB/BE = 2/(√5 - 1) = ½ + ½√5 en AE/AB = (1 + √5)/2 = ½ + ½√5. En zoals we weten is ½ + ½√5 gelijk aan F, de Gulden Snede.

Constructie van een regelmatige vijfhoek

Eeuwenlang hebben wiskundigen geprobeerd een constructie te vinden voor de regelmatige n-hoek. Inmiddels weten we dat het onmogelijk is met passer en liniaal bijvoorbeeld een regelmatige zevenhoek te construeren, maar totdat C.F. Gauss in de negentiende eeuw liet zien welke regelmatige n-hoeken je kunt construeren, was dit een belangrijk open probleem in de wiskunde. Zelf heb je bij opgave 3 al een regelmatige driehoek geconstrueerd en Euclides kon al een regelmatige vijfhoek construeren.

We gaan deze constructie uitvoeren. Neem eens aan dat we een lijnstuk AB met C al in twee delen hebben verdeeld en wel volgens de Gulden Snede. Teken nu een cirkel g om C met straal BC. We gaan de vijfhoek construeren in de cirkel g. g Snijdt het verlengde van lijnstuk AB in D. Dit punt D is al een van de punten van de vijfhoek die we zoeken. Teken nu een cirkel om A met straal BC. Deze cirkel snijdt g in twee punten E en F. Ook dit zijn punten van de vijfhoek. Je hebt nu al drie punten van de vijfhoek gevonden. Heb je enig idee hoe je de andere twee vindt?

Constructie van een regelmatige vijfhoek

Opgave

4. Voer de constructie van de regelmatige vijfhoek uit en maak hem af.

terug naar boven

LINK PARTNERS